Un ghid detaliat al variabilelor grecești ale tranzacționării opțiunilor

Grecii

Grecii - delta, gamma, teta, vega și rho - sunt cinci variabile care ajută la identificarea riscurilor unei poziții opționale.

Riscurile cu care se confruntă investitorii în opțiuni nu sunt unidimensionale. Pentru a face față condițiilor de piață în schimbare, un investitor ar trebui să fie conștient de amploarea acestor schimbări. Pentru a vedea dacă modificările sunt mari sau mici, dacă creează un risc major sau minor, teoria opțiunilor și modelele de stabilire a prețurilor opțiunilor oferă investitorilor variabile care identifică caracteristicile de risc ale poziției lor de opțiune. Aceste variabile sunt denumite greci. Există cinci greci pe care îi monitorizăm: delta, gamma, theta, vega și rho.

Deoarece grecii sunt derivați ai formulei Black & Scholes, vom începe prin a explica mai multe despre asta.

Black & Scholes

Formula Black și Scholes, uneori cunoscută sub numele de formula Black, Scholes și Merton, este instrumentul standard de piață pentru opțiunile de stabilire a prețurilor. Această formulă prețuri opțiune în funcție de prețul actual al acțiunii S ₀, timpul până la scadență a opțiunii T, greva sa X, volatilitatea σ și rata dobânzii r:

apel = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) cu

unde N (x) este funcția de distribuție normală cumulativă pentru distribuția normală standard, adică probabilitatea ca o variabilă aleatorie ~ N (0,1) (cu o distribuție normală standard) să fie mai mică decât x.

Înainte de a discuta formula, să afirmăm ipotezele care stau la baza. Formula Black și Scholes presupune:

Returnările sunt IID (independente și distribuite identic) cu o distribuție normală.
Volatilitatea viitoare este cunoscută și constantă.
Rata viitoare a dobânzii este cunoscută, constantă și la fel pentru împrumuturi și împrumuturi.
Traseul stocului este continuu și este posibilă tranzacționarea continuă.
Costurile tranzacției sunt nule.

Pentru a dezvolta teoria, presupunem că toate aceste presupuneri sunt valabile. Această formulă este standardul pieței, deoarece este extrem de robustă în ceea ce privește încălcările ipotezelor sale.

Delta

Primul grec despre care se va discuta este delta. Practic, delta este sensibilitatea valorii teoretice a unei opțiuni la o modificare a prețului contractului subiacent. Mai simplu, delta este schimbarea valorii unei opțiuni atunci când valoarea de bază crește cu 1 dolar. De exemplu:

Δ _call = ∂c / ∂S = N (d ₁) și Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

cu N (d ₁) ca în formula BS.

Valoarea unei opțiuni de apel crește atunci când prețul acțiunilor crește, astfel încât delta unei opțiuni de apel este pozitivă. În schimb, valoarea unei opțiuni put scade atunci când prețul acțiunilor crește, astfel încât delta opțiunii put este negativă.

Se poate observa că N (x) este o funcție de densitate a probabilității, deci ia valoare în. Delta unui apel este apoi mereu în și delta unui apel. Deoarece nivelul de bază este de obicei de 100 de stocuri, delta opțiunii este înmulțită cu 100. De exemplu, o opțiune cu delta 0,25 este considerată drept delta 25. Cu cât este mai mare delta, cu atât va fi mai asemănătoare schimbarea valorii opțiunii să fie la stocul de bază. Valoarea unei opțiuni cu delta 100 se va deplasa exact la aceeași rată cu stocul suport. Rețineți, de asemenea, că operația derivată este liniară, astfel încât să putem calcula delta fiecărei opțiuni și să le însumăm pentru a obține delta întregului portofoliu (atunci poate fi în afara desigur).

Când o opțiune se apropie de expirare, delta sa se va schimba, deoarece probabilitatea de a expira în sau în afara banilor se schimbă, iar distribuția normală se restrânge și se concentrează în jurul valorii medii. Pe măsură ce o opțiune se apropie de expirare, opțiunile în bani se vor îndrepta spre delta 100, iar opțiunile în afara banilor se vor îndrepta spre delta 0. Opțiunile la bani, pe de altă parte, vor rămâne în jurul deltei 50.

Pe măsură ce acțiunile subiacente se modifică în preț, se modifică și delta. Acest lucru este de așteptat deoarece d ₁ este o funcție a prețului acțiunilor.

Delta unui apel

O interpretare practică a deltei este raportul de acoperire: valoarea acțiunilor care ar trebui cumpărate sau vândute pentru a neutraliza riscul direcțional al unei opțiuni. Din formula BS putem vedea o altă interpretare. Aproximativ vorbind, putem spune că delta unei opțiuni este probabilitatea sa de a expira în bani. (Pentru o exprimare vom lua valoare absolută). Această aproximare funcționează doar pentru opțiunile europene.

Rezumând, există trei interpretări ale deltei:

Modificarea valorii unei opțiuni în cazul în care suportul crește cu 1 dolar.
Raportul de acoperire: numărul de acțiuni care trebuie cumpărate sau vândute pentru a neutraliza riscul direcțional al poziției.
Șansa ca opțiunea să fie în bani la expirare

→ Apeluri OTM: delta tinde la 0 pe măsură ce ne apropiem de expirare.

→ Apeluri ITM: delta tinde la 100 pe măsură ce trece timpul.

Delta unui put versus Prețul de bază

Delta versus volatilitate

Pe măsură ce volatilitatea crește (scade), delta unui apel se îndreaptă către (departe de) 0,50 și delta unui put către (departe de) -0,50. Deci, dacă volatilitatea crește (scade) delta unei din opțiunea de bani scade (crește). În cazul unei opțiuni fără bani, acest lucru este exact opusul.

Delta versus Timp

Pe măsură ce timpul scade, delta unui apel se îndepărtează de la 0,50 și delta unui apel depășește de la -0,50. Pe măsură ce timpul trece, delta unui apel în bani se deplasează spre 1 și delta unui în afara banilor către 0.

Gamma

Gamma este derivatul deltei în funcție de prețul acțiunilor. Deoarece delta este derivatul valorii opțiunii în funcție de stocul suport, gamma este schimbarea deltei atunci când prețul acțiunilor crește cu 1 dolar. Este scris astfel:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

cu d ₁ ca în formula BS și N 'prima derivată a funcției de densitate cumulativă gaussiană, adică densitatea gaussiană obișnuită:

Gamma versus prețul acțiunilor, Gamma versus timp

Se spune adesea că gama atinge valoarea maximă atunci când o opțiune este ATM. Acest lucru este corect ca o primă aproximare, cu toate acestea, maximul real este atins atunci când prețul acțiunilor este chiar sub prețul de vânzare. Acest efect este prezentat în partea stângă a figurii de mai sus pentru o tranzacționare de acțiuni la 100 de dolari. Având în vedere o grevă X, σ volatilitate, r rată și un timp de expirare T, valoarea stocului oferind gama maximă este S _{max Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) T}.

Curba gamma a unui apel și a unui put sunt identice. Acest lucru este în concordanță cu ceea ce am spus despre apeluri și apeluri în general, precum și gamma în special până acum.

Pe măsură ce timpul până la expirare scade, gama și teta opțiunilor la bani cresc. Chiar înainte de expirare, aceste variabile pot deveni dramatic mari.

Gamma versus Timp

După cum arată figura de mai sus, graficul se restrânge, dar suprafața totală de sub grafic rămâne neschimbată. În consecință, graficul obține un top mult mai mare. Partea superioară simbolizează creșterea gamma și theta pe măsură ce scade timpul până la expirare.

Datorită comportamentului apelurilor ITM, ATM și OTM, vedem că curba delta se va abrupta în jurul grevei pe măsură ce expirarea se apropie. Prin urmare, gama va crește pentru opțiunea ATM pe măsură ce timpul trece. Totuși, acest lucru nu este valabil pentru opțiunile OTM și ITM.

Gamma este un parametru de risc important, deoarece determină câți bani putem câștiga sau pierde din portofoliul nostru neutru în delta pe măsură ce prețul acțiunilor se schimbă. În exemplul următor, vom evalua P / L a unei poziții de opțiune ca o consecință a mișcării suportului. Vom presupune o gamă constantă de 2,7, deci delta se modifică cu 2,7 pe dolar mișcarea subiacentului.

Să presupunem că cumpărăm apelul 80 de 1000 de ori la 5,52 cu un preț de stoc de 79 de dolari. Pentru a fi neutri în deltă, ar trebui să vindem 51.100 de acțiuni. Prețul acțiunilor se dezvoltă după cum urmează:



t =	Prețul acțiunii
0	79
1	84
2	76
3	79

La t = 1 și t = 2, îmi reajustez gardul pentru a fi neutru delta. La t = 3, îmi închid poziția.

Trei moduri de a calcula modificarea valorii unei poziții

Iată trei moduri de a calcula modificarea valorii poziției noastre, prima folosind fluxul de numerar, a doua folosind delta și a treia folosind gama.

1. Calculul profitului utilizând fluxul de numerar

Mai întâi ne uităm la fluxurile de numerar, așa cum se arată în tabelul de mai jos. Cea de-a doua coloană prezintă fluxurile de numerar aferente apelului și a treia legate de poziția mea pe stoc. Ultima linie rezumă toate:

Deci, în cele din urmă, obținem un profit de 132.300. Dacă suntem opțiuni lungi și astfel avem o poziție gamma lungă, trebuie să cumpărăm acțiuni dacă prețul acțiunilor scade și să vindem acțiuni dacă prețul acțiunilor crește (cumpărați scăzut, vindeți ridicat), deci obținem întotdeauna profit dacă stocul se mișcă. Verificați singur că acest lucru este valabil atât pentru apeluri, cât și pentru apeluri.

2. Calculul profitului folosind Delta

Acum luăm în considerare o a doua modalitate de a calcula profiturile. Tranzacțiile sunt aceleași, doar calculul profitului diferă. Cu această metodă luăm în considerare simultan opțiunea și poziția stocului. Avem stocul drept acoperire pentru opțiune, deci să luăm în considerare doar poziția delta totală. Începem delta neutru. Apoi mișcarea stocului câștigăm delte. (Calculăm deltele pe care le câștigăm folosind diferența dintre două delte date pentru valorile inițiale și finale ale stocului. Pentru a obține delta medie în timpul mutării luăm această valoare împărțită la două). Portofoliul câștigă în valoare conform deltelor sale, după cum se explică mai jos.

În acest caz, folosim metoda delta medie. Adică noi:

Calculați poziția medie delta în timpul mișcării stocului.
Înmulțiți acest lucru cu intervalul pentru a calcula profitul.

La momentul t, ne acoperim astfel încât să cumpărăm / vindem acțiuni, astfel încât delta să fie din nou neutră.

Să privim acest lucru mai atent:

La t = 0, acțiuni tranzacționează 79, începem o poziție neutră delta, adică avem 51.100 acțiuni scurte
La t = 1, tranzacționarea acțiunilor 84. Delta poziției opțiunii este 64,6 * 1000 (din opțiuni) -51100 (din acțiuni). Între t = 0 și t = 1, poziția mea delta a trecut de la 0 la 13.500. Media mea delta pentru mutare a fost atunci (13.500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 pe apel). Pentru a calcula PnL-ul poziției mele, înmulțesc aceste delte cu cantitatea de mișcare de stoc: 6570 * 5 = 33.750 dolari. Pentru a realiza acest profit, trebuie să vând acțiuni pentru a fi din nou neutre în delta.
La t = 2, tranzacționarea stocului 76. Delta poziției opțiunii mele este de 43,0 * 1000 și delta poziției stocului meu este -64600…

Exemplu de calcul al profitului folosind Gamma.

3. Calculul profitului utilizând Gamma

În exemplul de mai sus, am calculat poziția medie a deltei luând media poziției delta inițiale și poziția delta finală. Acest lucru poate fi realizat și folosind gama, deoarece gama definește modificarea deltei pe dolar.

Să clarificăm cum:

La t = 0, tranzacțiile stoc 79, delta neutru, gama este 2.700.
La t = 1, stocul tranzacționează 84. Stocul a fost mutat cu 5, astfel încât noua mea poziție delta este de 5 * 2.700. La începutul mutării delta mea era 0, deci delta mea medie este de 5 * 2.700 / 2. Stocul a fost mutat cu 5, astfel încât portofoliul a câștigat 5 * delta medie = 5 * 5 * 2.700 / 2. Portofoliul este acoperit astfel încât delta să fie din nou 0. Numim asta „scalping gamma”. O poziție gamma lungă vă permite să cumpărați scăzut și să vindeți scump.
La t = 2, acțiuni tranzacționează 76. Aceasta este o mișcare de 8 dolari, noua mea poziție delta este 8 * 2700…

Se poate folosi următoarea formulă generică dacă plecăm de la un portofoliu neutru delta:

P / L = preț mic ^ 2 * gamma / 2