Cum se calculează modificările procentuale compuse

Un soroban pentru o numărare rapidă

David Wilson

Ce este o modificare procentuală compusă?

Suntem cu toții conștienți de modificările procentuale. Fie că este cu 25% reducere din costul unui nou televizor în vânzările de Black Friday sau o creștere cu 5% a tarifelor trenurilor (din nou), schimbarea unei sume cu un procent este o abilitate de zi cu zi. Dar ce zici de modificările procentuale compuse?

Imaginați-vă că puneți 100 GBP în bancă într-un cont de economii cu o rată a dobânzii fixă ​​de 4% plătită anual. La sfârșitul anului (presupunând că nu ați atins depozitul inițial), banii dvs. vor fi crescut cu 4%, oferindu-vă o sumă suplimentară de 4 GBP și un total de 104 GBP în cont.

Dacă lăsați toți acești bani în cont pentru încă un an, ce se întâmplă atunci? Mai primiți 4 GBP și un total de 108 GBP în bancă? Nu. Pentru al doilea an, nu numai că primești 4% din suma inițială de 100 GBP, care este încă în bancă, dar primești și 4% din suma suplimentară de 4 GBP pe care ai câștigat-o prin dobândă anul precedent. 4% din 104 GBP este de 4,16 GBP, adică la sfârșitul celui de-al doilea an veți avea 104 GBP + 4,16 GBP = 108,16 GBP în contul dvs. Presupunând că nu atingeți banii la un moment dat și că rata dobânzii de 4% rămâne constantă, veți câștiga mai mulți bani în fiecare an pe măsură ce crește suma din contul dvs. Acesta este un interes compus.

Notă: dacă tocmai ați primit 4 GBP în fiecare an, acest lucru ar fi cunoscut sub numele de interes simplu.

Cum se calculează creșterea procentuală a compusului

Să ne uităm la modul de calculare a creșterii procentuale compuse (cunoscut și ca dobândă compusă atunci când avem de-a face cu exemple ca ale noastre).

La fel ca înainte, începeți cu 100 GBP în contul bancar și o rată a dobânzii fixă ​​de 4%. Am putea găsi 4% împărțind 100 GBP la 100 pentru a obține 1% și apoi înmulțind acest lucru cu 4. Acest lucru este minunat pentru un an, dar dacă am dori să aflăm cât vom avea în contul 5 sau 10 ani mai jos, va dura mult.

În schimb, vom folosi ceva numit metoda multiplicatorului. Dacă numim depozitul nostru inițial 100%, atunci după o creștere de 4%, vom ajunge cu 104%. Pentru a calcula 104% dintr-o sumă, convertim mai întâi procentul într-o zecimală împărțind la 100, oferindu-ne 104/100 = 1,04. Înmulțirea cu acest 1,04 va crește o sumă cu 4% dintr-o dată.

De exemplu, avem 100 de lire sterline, astfel încât după un an avem 100 de lire sterline x 1,04 = 104 lire sterline. După încă un an avem 104 x 1,04 GBP = 108,16 GBP, apoi 108,16 GBP x 1,04 = 112,49 GBP și așa mai departe. Cu toate acestea, o putem accelera și mai mult.

Înmulțim cu același multiplicator, 1,04, o dată pentru fiecare an care trece, deci dacă dorim să găsim totalul cu câțiva ani mai departe, putem înmulți cu 1,04 de atâtea ori folosind puteri.

De exemplu, după 5 ani, vom avea 100 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04, care este același cu 100 x 1,04 ⁵ = 121,67 GBP.

După 25 de ani am avea 100 GBP x 1,04 ²⁵ = 266,58 GBP. Imaginați-vă cât de mult ar fi durat dacă am lucra 4% pentru fiecare an separat!

Un alt exemplu de creștere procentuală compusă

Să încercăm un alt exemplu de creștere procentuală compusă.

Populația unui oraș crește cu 12% în fiecare an. Dacă începe de la 30 000 de oameni și presupunând că această creștere rămâne constantă, care va fi populația peste 6 ani? Dar în 20 de ani?

Deci, începem cu 100% și dorim o creștere de 12%, prin urmare vom ajunge cu 112%, adică 1,12 ca zecimal.

Prin urmare, după 6 ani populația va fi de 30 000 x 1,12 ⁶ = 59 215.

După 20 de ani va fi 30 000 x 1,12 ²⁰ = 289 389.

Ce zici de procentul compus scade?

O scădere procentuală a compusului (cunoscută și sub denumirea de descompunere compusă) este atunci când o cantitate scade cu același procent de mai multe ori. Metoda pentru a găsi acest lucru este foarte asemănătoare cu a găsi o creștere.

Să presupunem că ați cumpărat o mașină pentru 20 000 de lire sterline și în fiecare an, valoarea mașinii scade cu 15%. Vrem să aflăm cât va valora mașina peste cinci ani.

Am putea găsi 15% din 20 000 de lire sterline, scăpați acest lucru, apoi găsiți 15% din noua sumă și așa mai departe, dar din nou, va dura ceva timp. În schimb, să ne uităm la utilizarea multiplicatorilor așa cum am făcut mai sus.

Dacă începem de la 100%, o reducere de 15% ne va lăsa cu 85%. Deci, în loc să ne gândim la asta ca la o scădere de 15% în fiecare an, ne putem gândi la asta ca la o reducere de 85%. 85% ca zecimal este 85/100 = 0,85, deci pentru a găsi 85% înmulțim cu 0,85. Pentru a face acest lucru de mai multe ori, folosim puteri așa cum am făcut mai sus.

Deci, revenind la exemplul nostru de mașină, după 5 ani valoarea va fi de 20 000 GBP x 0,85 ⁵ = 8 874,11 GBP.

După 10 ani, valoarea va fi de 20 000 GBP x 0,85 ¹⁰ = 3 937,49 GBP.

Consultați videoclipul de mai jos pentru exemple suplimentare.

Interes compus pe canalul YouTube DoingMaths

© 2020 David